Dunque:
A quanto pare l'alimentatore di quei LED è fatto più o meno come dicevo io, un condensatore, una resistenza, un raddrizzatore, e poco altro.... Vedo un elettrolitico e qualcos'altro che si è bruciato, e che tu dici essere una resistenza.
Come dicevo sopra, l'onda "quadra" in realtà è un'onda sinusoidale con sovrapposte insieme (in teoria) TUTTE le sue armoniche. Le armoniche, mi scuso con chi già lo sa, sono le frequenze multiple della frequenza fondamentale, in questo caso i 50 Hz. Per cui sovrapposte alle sinusoidi a 50 Hz ci sono i 100Hz, i 150Hz, i 200Hz, i 250Hz...... Via via fin verso i KHz e oltre. Tutte queste semionde di frequenze sovrapposte tra loro formano l'onda quadra.
In quel circuito lì, a fungere da "limitatore" della corrente che ci circola è principalmente il concensatore di capacità più piccola, quello grosso e rosso (sarebbe utile sapere cosa c'è scritto sopra.....), ma come ho già detto la sua "resistenza" alla corrente alternata dipende tantissimo dalla frequenza che gli viene applicata. Con una sinusoide pura a 50Hz espleta la sua funzione di "freno" alla corrente, ma con un'onda quadra in cui ci sono anche frequenze superiori, quelle non riesce a "frenarle", per cui il risultato è che circola molta più corrente, in grado di bruciare il circuito o almeno qualche suo componente.
Non so se può interessare, ma la "resistenza" che offre un condensatore alla corrente alternata si chiama "reattanza capacitiva", è direttamente proporzionale alla sua capacità e direttamente dipendente dalla frequenza.
Si trova con una formuletta semplicissima: 1/(2 x P x F x C) Ossia uno fratto 2 x pigreca x frequenza x capacità.
La frequenza in questo caso è in Herz (i famosi 50Hz) mentre la capacità in Farad. Siccome le capacità dei condensatori che usiamo sono in MicroFarad (milionesimi di Farad), sopra alla frazione al posto di "1" si dovrà mettere "1000.000".
La reattanza si esprime in Ohm come la resistenza.
Tanto per dire: se il condensatore rosso fosse da 1 MicroFarad (uF) la sua reattanza ai 50Hz sarebbe di 3183,0988 Ohm.
Con una tensione sinusoidale pura di 230V circolerebbe nel circuito una corrente di:
230 : 3183,0988 = 0,0722566 Ampere Ossia 72 MilliAmpere (millesimi di Ampere) e spiccioli.
Ma nel caso dell'onda quadra sono presenti anche sinusoidi a 230V di frequenza doppia, tripla, quadrupla ecc ecc, per cui basterebbe sostituire quelle frequenze lì nella formuletta e vedremmo di volta in volta quanta corrente
in più sia passata nel condensatore.
Di solito in serie al condensatore c'è una resistenza, di valore relativamente basso, che serve a limitare la corrente di carica al condensatore nel momento in cui si accende e lui è completamente scarico (che in quel momento è "voracissimo"
), e probabilmente è proprio quella, dimensionata per una corrente in frequenza di 50Hz, che si è bruciata.
Mi sembra strano che in un frangente simile siano rimasti intatti i LED..... Non è che si brucino in maniera vistosa, come la resistenza, di solito si interrompono e non funzionano più. Per provarli basta provarli uno ad uno con il tester in portata Ohm (di solito sulla portata 2000 Ohm) oppure se c'è sulla posizione del commutatore che serve a provare i diodi. Provandoli uno per uno, in un senso dovrebbe segnare un numero, mentre nell'altro senso non segnare niente. Se segna in entrambe le direzioni, specie con un numero simile in entrambi i versi, sicuramente è guasto, mentre se non segna niente in entrambi i versi si è bruciato e si è interrotto.
In una serie di diodi (LED o meno) sottoposti a stress, ce n'è sempre qualcuno che "soccombe" e qualcuno che "sopravvive". Nel caso che siano integri tutti, con buona probabilità potrebbe bastare di sostituire la resistenza bruciata (se se ne conosce il valore.....), purché gli altri componenti siano ancora buoni.
@Dolomitico:
In questo circuito non si può usare un 7812, in quanto è sottoposto interamente ai 230V di rete. Gli integrati della serie 78XX sono costruiti di solito per una tensione in ingresso di 40V, o alcuni di 60V, ma non di più.
.
E con minor consumo.
Oppure per casi di emergenza in caso di mancanza di rete. 
ciao giuseppe
da notare c'è un bel dispersore che nonostante tutto dopo qualche ora (rete enel) la lampadina scalda parecchio